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          職測數量關系:均值不等式巧解利潤最值問題

          來源:國家事業單位考試網 2022-07-20 14:35:02

            利潤問題是職測考試中數量關系部分的一種題型,這種題型中有一類考點,即求利潤的最值,此類題目在求解過程中往往會出現一元二次函數,如何簡便快速地求解一元二次函數的極值,下面小編就為大家介紹一種方法,即利用均值不等式來求解。


            均值不等式的一種表達形式如下,


            如果a、b均為非負實數,那么當且僅當a=b時,等號成立。


            由上述表達式,我們可以得到如下結論:已知a、b均為正數,若a+b為定值,則當且僅當a=b時,ab取得最大值。


            【例1】某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴大銷售增加盈利盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,經調查發現如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件,每件襯衫降低(    )元時,商場每天盈利最多。


            A.12


            B.15


            C.20


            D.25


            答案:B


            接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路:


            (1)找等量關系,列方程。


            本題所求為利潤最值問題,結合條件可以得出等量關系:總利潤=單件利潤×銷量。分析可得如果售價下降1元在成本不變的情況下利潤即下降1元,同時銷量會增加2件,這道題可以設每件襯衫的售價下降了x元,商場的總利潤為y元,那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。


            (2)湊配定和,求極值。


            y=(40-x)×(20+2x),由前面學習的均值不等式的結論可知,要想求兩部分乘積的最大值,需要這兩部分的加和為定值,而我們會發現40-x和20+2x的加和并不是常數,所以不為定值,那么就需要未知數在加和后抵消掉,則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x),此時40-x與10+x的和為定值,所以當且僅當40-x=10+x,即x=15時,y存在最大值,答案為B。


            【例2】某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間定價為每天180元時,房間會全部住滿,當每個房間的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,問房價為多少元時賓館利潤最大?


            A.260


            B.280


            C.300


            D.340


            答案:D


            【解析】總收入最多則利潤最大,所以需要求出總收入的最大值,通過題干條件可得等量關系為:總收入=房間單價×入住房間數量,房價增加會使入住房間數減少,此時可設房價增加了x個10元,總收入為y元,可得y=(180+10x)×(50-x),想求兩個部分乘積的最大值,需要使兩部分加和為定值,可將方程變形為y=10×(18+x)×(50-x),當且僅當18+x=50-x,即x=16時,y取最大值,此時每個房間的價格為180+10×16=340元,故答案為D。

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